圓的直徑式方程
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圓的直徑式方程,若圓直徑兩端點為A(a,b),B(c,d),則圓方程為(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0。
這可以用向量證明:
1、假設P(x,y)是圓上一點,那麼向量【(x-a),(y-b)】表示A到P的向量,【(x-c),(y-d)】表示B到P的向量。
2、因為AB是直徑,所以對於圓上的任意非A,B點,∠APB=90°
3、所以有兩向量內積為0,即(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0
4、當P為A或B點時,有兩向量之一為0向量,因為0向量與任意向量垂直,所以上式仍成立,所以所有的圓上的點都在(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0內。
5、又因為由平面幾何知識知道所有滿足向量【(x-a),(y-b)】垂直向量【(x-c),(y-d)】的點都在圓上,所以(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0就是該圓的方程。
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